Bahan Ajar Matriks

BAHAN AJAR

SKENARIO PEMBELAJARAN PERKALIAN MATRIKS

A.     Menjelaskan Definisi Matriks

·           Ukuran Matriks

·           Unsur Baris

·           Unsur Kolom

·           Unsur Baris dan Unsur Kolom

B.     Operasi Matriks

·           Jumlah Dua Matriks

·           Syarat Menjumlah Dua Matriks

·           Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

·           Perkalian Dua Matriks

·           Syarat Perkalian Dua Matriks

C.     Pelaksanaan Pembelajaran.

D.    Menjelaskan Definisi Matriks.

Diberikan kepada siswa tabel nilai rata-rata ulangan 5 orang siswa pelajaran matematika, fisika, kimia, biologi sebagai berikut:

Nama	Matematika	Fisika	Kimia	Biologi
Ali	7.5	7.0	8.5	7.0
Ani	8.3	7.5	8.5	5.0
Budi	7.7	8.0	7.5	8.0
Dini	8.0	7.5	8.0	7.0
Dena	7.5	8.0	7.5	7.5

Siswa diminta untuk menghapus baris pertama dan kolom pertama dari tabel tersebut, untuk mendapatkan

7.5	7.0	8.5	7.0
8.3	7.5	8.5	5.0
7.7	8.0	7.5	8.0
8.0	7.5	8.0	7.0
7.5	8.0	7.5	7.5

Kemudian ditanyakan kepada siswa tentang susunan bilangan-bilangan pada sisa tabel yang tidak terhapus. (Jawaban yang diharapkan kumpulan bilangan yang ditulis menurut baris dan kolom).

Kemungkinan jawaban siswa adalah:

1.        Bilangan-bilangan yang ditulis menurut baris dan kolom.

2.        Kumpulan bilangan-bilangan.

Siswa yang menjawab kemungkinan pertama dianggap pemahamannya sudah mengarah kepada  yang mau dipelajari tentang  matriks. Untuk siswa yang menjawab kemungkinan kedua diberikan  bilangan yang tidak teratur sebagai berikut

7,0
	8,5
			7,7		7,0
		8,3
				7,6
						8,5
							8,0
									7,7
								8,0
							7,5
					8,0
						8,0
			7,5
		8,0
								7,0
						7,5
				8,0
7,5									7,7

Kepada siswa yang menjawab kelompok kedua ditanyakan lagi apa beda kumpulan bilangan yang pertama dengan yang kedua. Diharapkan siswa dapat membedakan kumpulan bilanngan pertama dan kedua yaitu: Kumpulan bilangan yang pertama teratur menurut baris dan kolom sedangkan kumpulan bilangan kedua tidak teratur letaknya. Kemudian dikemukakan bahwa kumpulan bilangan

yang ditulis menurut baris dan kolom disebut matriks dan cara menuliskannya dengan kurung  dan diberi nama dengan huruf kapital.

Contoh di atas ditulis  A = 

sedangkan kumpulan bilangan kedua bukan matriks.

E.     Menentukan Ukuran Matriks.

Pada tabel yang pertama ditambah 5 orang siswa dan nilainya dikurangi satu, yaitu nilai biologi tidak dituliskan pada tabel itu, dengan demikian tabel menjadi:

Nama	Matematika	Fisika	Kimia
Ali	7.5	7.0	7.0
Ani	8.3	7.5	8.5
Budi	7,7	8.0	7.5
Dini	8.0	7.5	8.0
Dena	7.5	8.0	7.5
Hana	9.0	8.0	7.0
Hani	7.0	7.0	7.5
Intan	8.6	7.5	7.0
Ihja	7.7	7.0	7.0
Winda	7.8	7.5	7.0

Apabila siswa sudah memiliki pengetahuan tentang matriks, maka tabel di atas dapat

diperlihatkan dalam bentuk matriks dan diberi nama B =

Siswa diminta mengamati dan membandingkan matriks A dan matriks B

Kemungkinan jawaban siswa:

1.      Matriks A memiliki 5 baris dan 4 kolom, sedangkan matriks B memiliki  10 baris dan 3 kolom.

2.      Matriks B lebih tinggi dari matriks A.

Siswa yang menjawab kelompok pertama sudah mengarah keukuran matriks. Untuk siswa yang menjawab kelompok kedua, diminta untuk menghitung banyak baris dan banyak kolom dari masing-masing matriks. Kemudian dikemukakan bahwa banyak baris kali banyak kolom disebut ukuran matriks, atau ordo matriks. Jadi ukuran matriks A 5x4 ditulis sedangkan ukuran matriks B 10x3 ditulis .

F.      Menentukan Letak Unsur-Unsur

Kepada siswa diberikan matriks A = .

Siswa diminta menentukan unsur matriks A baris pertama. (Jawaban yang diharapkan adalah:

7, -5 -3). Siswa diminta menentukan unsur matriks A kolom kedua. (Jawaban yang diharapkan adalah: -5, -1, 3, 6, -7). Siswa diminta menentukan unsur matriks A baris ketiga kolom pertama. (Jawaban yang diharapkan adalah: 4).

Kemudian kepada siswa ditanyakan letak bilangan 3 pada matriks A. (Jawaban yang diharapkan adalah: Bilangan 3 unsur matriks A baris ketiga kolom kedua). Seandainya masih ada yang menjawab salah,  pertanyaan diulang untuk letak beberapa unsur yang lainnya.                                 

G.    Penjumlahan Dua Matriks

Diberikan tabel belanja sebuah perusahaan home industri yang memproduksi kue kering selama 5 hari sebagai berikut:

Tabel Belanja Minggu pertama

Hari	Terigu	Gula	Mentega	Telur
Senin	25	13	14	11
Selasa	20	14	12	13
Rabu	18	11	12	10
Kamis	18	10	10	9
Jumat	25	13	14	12

Tabel Belanja Minggu kedua

Hari	Terigu	Gula	Mentega	Telur
Senin	20	12	11	10
Selasa	20	10	10	9
Rabu	25	14	14	11
Kamis	20	13	12	12
Jumat	22	13	11	10

Siswa diminta untuk menentukan banyak belanja selama dua minggu dan menuliskannya dalam satu tabel.

Siswa diharapkan dapat membuat tabel sebagai berikut:      

Hari	Terigu	Gula	Mentega	Telur
Senin	45	25	25	21
Selasa	40	34	22	22
Rabu	43	25	26	21
Kamis	38	23	22	21
Jumat	47	26	25	22

Kemudian siswa diminta membuat matriks dari ketiga tabel di atas. Diharapkan siswa menuliskan matriks sebagai berikut:

matriks dari tabel pertama  diberi nama A  =    ,

matriks dari tabel kedua  diberi nama B   =       dan

matriks dari tabel ketiga diberi nama C  =      ,

Selanjutnya siswa diminta untuk mengamati dan menentukan hubungan ketiga matriks tersebut.

Kemungkinan jawaban siswa:

1.         Unsur matriks C merupakan jumlah dari dua unsur seletak matriks A dan B.

2.        Siswa yang belum mengerti, tidak memberikan komentar.

Untuk siswa yang belum mengerti, ditunjukkan hubungan setiap unsur dari matriks C dengan unsur seletak matriks A dan B. Contoh unsur matriks C baris pertama kolom pertama yaitu 45, seletak dengan 25 dan 20  pada matriks A dan B. Siswa diminta menentukan hubungan ketiga bilangan tersebut. (Jawaban yang diharapkan: 45 = 25 + 20). Pertanyaan diulangi untuk beberapa unsur, sampai siswa mengerti bahwa proses menjumlahkan dua matriks adalah menjumlah unsur-unsur seletak dua matriks sebelumnya.

Siswa diminta untuk menuliskan hubungan matriks-matriks tersebut dalam bentuk operasi. (Jawaban yang diharapkan: Matriks C adalah jumlah dari matriks A dan B ditulis A + B = C).

H.    Syarat Penjumlahan Dua Matriks

Kepada siswa diberikan tiga buah matriks sebagai berikut:

  A = ,  B = ,  dan C = 

Siswa diminta menghitung:

A + B dan A + C 

Diharapkan siswa menghitung dengan benar yaitu:

A + B =  +  =

Kemudian kepada siswa ditanyakan, mengenai kemungkinan menjumlahkan matriks A dengan matriks C.  Kemungkinan jawaban siswa adalah:

1.      Tidak mungkin karena matriks A dan matriks C berbeda ukuran.

2.      Siswa yang belum mengerti tidak memberikan komentar.

Kepada siswa yang belum mengerti diminta untuk memperhatikan matriks A dan matriks C dengan seksama. Kemudian kepada siswa tersebut ditanyakan “Apakah setiap unsur pada kedua matriks tersebut memiliki pasangan untuk dijumlahkan?”. Diharapkan kebanyakan siswa menjawab “ Tidak”. Selanjutnya ditanyakan kemungkinan untuk menjumlahkan matriks A dengan C. Jawaban yang diharapkan adalah:  tidak mungkin.

I.       Syarat Menjumlah Dua Matriks

Untuk menentukan syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan, siswa diminta membandingkan ukuran dari matriks-matriks yang dapat dijumlahkan, dengan matriks-matriks yang tidak dapat dijumlahkan. Diharapkan kebanyakan siswa menjawab benar, yaitu syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan adalah ukuran dari matriks-matriks itu harus sama.

J.      Perkalian Matriks Dengan Bilangan Real

Siswa diminta untuk memperhatikan tabel belanja sebuah perusahaan dalam satu minggu.

Hari	Terigu	Gula	Mentega	Telur
Senin	25	13	14	11
Selasa	20	14	12	13
Rabu	18	11	12	10
Kamis	18	10	10	9
Jumat	25	13	14	12

Setiap kali menjelang hari raya, belanja perusahaan meningkat sepuluh kali dari belanja sebelumnya. Siswa diminta menuliskan tabel belanja menjelang hari raya. Diharapkan siswa menuliskan tabel berikut.

Tabel belanja menjelang hari raya   

Hari	Terigu	Gula	Mentega	Telur
Senin	250	130	140	110
Selasa	200	140	120	130
Rabu	180	110	1200	100
Kamis	180	100	10	90
Jumat	250	130	140	120

Selanjutnya siswa diminta membuat matriks dari kedua tabel di atas:

matriks dari tabel pertama misal namanya A =   dan

Matriks dari tabel belanja menjelang hari raya misal namanya B =

Dengan memperhatikan setiap unsur  seletak pada matriks A dan matriks B siswa diminta menentukan hubungan antara matriks A dan matriks B.

Kemungkinan jawaban siswa:

1.        Matriks B didapat dari matriks A dengan cara setiap unsur matriks A dikalikan bilangan sepuluh.

2.        Belum memahami hubungan kedua matriks itu.

Untuk siswa yang menjawab kelompok pertama berarti sudah mengerti proses perkalian matriks dengan bilangan real. Sedangkan siswa yang menjawab kelompok kedua, ditujukkan unsur pada matriks B yang seletak dengan matriks  A masing-masing adalah sepuluh kalinya.Siswa menuliskan dalam bentuk matriks 10  =

Untuk lebih memahami perkalian matriks dengan bilangan real diberikan soal sebagai berikut: 

1.        Diketahui matriks  A =   hitung 5A

2.        Diketahui matriks B =  ,  hitung 8B

Diharapkan siswa dapat mengerjakan soal tersebut dengan benar, untuk siswa yang belum benar, diminta untuk melihat contoh perkalian matriks yang sudah dilakukan di atas.

K.    Perkalian Matriks Dengan Matriks.

Siswa diminta untuk memperhatikan tabel belanja sebuah perusahaan kue selama 4 hari berturut-turut.

        Tabel

Hari	Terigu	Gula	Mentega	Telur
Senin	25	13	14	11
Selasa	20	14	12	13
Rabu	18	11	12	10
Kamis	18	10	10	9

Jika harga masing-masing per-kilogram adalah sebagai berikut: terigu Rp 9.000,00, gula Rp 16.000,00, mentega Rp 18.000,00, dan telur Rp 16.000,00.

Siswa diminta berdiskusi dengan temannya untuk menghitung pengeluaran setiap kali belanja dan menyajikannya dalam matriks.

Langkah 1 menghitung pengeluaran setiap kali belanja

·          Hari Senin = 25( 9.000 ) + 13( 16000 + 14 ( 18000 ) + 11( 16000 ) = 1.086.000.

·          Hari Selasa = 20( 9000 ) + 14 (6000 ) + 12 (18000 ) + 13 (16000 ) = 828.000.

·          Hari Rabu  = 18 ( 9000 ) + 11 (16000) + 12 (18000) + 10 (16000 ) = 714.000.

·          Hari Kamis = 18 ( 9000) +  10 (16000) + 10 (18000) + 9 ( 16000 ) = 646000.

Langkah 2 menyajikan pengeluaran tiap kali belanja disesuaikan dengan tabel

Hari	Terigu	Gula	Mentega	Telur
Senin	25	13	14	11
Selasa	20	14	12	13
Rabu	18	11	12	10
Kamis	18	10	10	9

Harga

9000

16000

18000

16000

Pengeluaran

1.086000

828.000

714.000

646.000

Diharapkan siswa dapat menyelesaikan langkah 1 dengan benar.

Tabel pada langkah dua disajikan dalam matriks sebagai berikut:

  =

L.     Proses Perkalian Matriks

Misal matriks A =  , matriks B =  , dan matriks C = . Siswa diminta memperhatikan hubungan unsur-unsur matriks A dan B dengan unsur-unsur matriks C. Kemudian siswa menjelaskan hubungan ketiga matriks melalui perhitungan langkah 1, yaitu:

      Pengeluaran hari Senin, yakni  unsur baris pertama kolom pertama matriks C adalah jumlah dari perkalian unsur baris pertama matriks A dengan kolom pertama matriks B yang bersesuaian.

      Pengeluaran hari Selasa yakni unsur baris kedua kolom pertama matriks C adalah jumlah dari perkalian unsur baris kedua  matriks A dengan kolom pertama matriks B yang bersesuaian.

      Pengeluaran hari Rabu yakni unsur baris ketiga kolom pertama matriks C, adalah   jumlah   dari perkalian baris ketiga matriks A dengan kolom pertama matriks B yang bersesuaian.

        Pengeluaran hari Kamis yakni unsur baris keempat kolom pertama matriks C adalah jumlah hasil perkalian unsur baris keempat matriks A dengan kolom pertama matriks B yang bersesuaian.

Melihat keteraturan proses perkalian matriks diharapkan siswa dapat menentukan          unsur-unsur yang dikalikan jika unsur matriks hasil kali diberikan. Misalnya diberikan matriks hasil baris ke-n kolom ke-p diharapkan siswa dapat menentukan unsur tersebut jumlah hasil perkalian baris ke-n matriks A dengan kolom ke-p matriks B.  Jika diberikan unsur baris ke-r matriks A dikalikan dengan unsur kolom ke-k matriks B siswa diharapkan dapat menjawab bahwa menghasilkan unsur matriks hasil (Matriks C) baris ke-r kolom ke-k.

Dari keteraturan tersebut siswa diminta mengemukakan proses perkalian matriks A dengan matriks B. (Jawaban yang diharapkan adalah: matriks A dikalikan dengan matriks B menghasilkan matriks C. Unsur-unsur matriks C adalah  jumlah hasil kali unsur-unsur baris matriks A dengan unsur-unsur kolom matriks B yang bersesuaian).

Kemungkinan jawaban siswa:

1.        Matriks A dikalikan dengan matriks B menghasilkan matriks C, unsur-unsur matriks C adalah hasilkali unsur baris matriks A dengan unsur kolom matriks B.

2.        Siswa belum memahami proses perkalian matriks.

Untuk siswa yang belum memahami proses perkalian matriks, diulangi untuk contoh yang sama mulai dari menghitung pengeluaran setiap hari sampai menyajikan dalam bentuk matriks. Kemudian mengkaji hubungan satu persatu antara matriks hasil dengan dua matriks yang dikalikan.

Untuk lebih memahamkan siswa mengenai proses perkalian matriks, diberikan tabel hasil permainan sepak bola,    

KLASEMEN LIGA SUPER INDONESIA

Nama Club	Menang	Seri	Kalah
Persipura	14	5	2
Semen Padang	11	8	3
Persija	12	4	6
Arema	10	7	6
Persisam	11	3	10
Sriwijaya FC	10	4	8
Persela	9	5	8
Persib	9	5	10
Persiwa	9	4	8
Persiba	7	5	9

Siswa diminta menghitung total nilai yang diperoleh masing-masing tim apabila skor menang, seri dan kalah berturut-turut  3, 1, dan 0. Kebanyakan siswa pecinta sepak bola diharapkan pertanyaan dijawab dengan benar. Jawaban yang dihasilkan diminta disajikan dalam bentuk matriks. Diharapkan jawaban siswa:

=  =

Melalui contoh tersebut diharapkan siswa  lebih mudah memahami proses perkalian matriks.

M.  Syarat Perkalian Dua Matriks

Untuk memahami syarat agar dua matriks dapat dikalikan, serta mengetahui ordo matriks hasil kali, diperagakan melalui permainan kartu domino.

Kegiatan Menentukan Syarat Perkalian Dua Matriks Menggunakan Kartu Domino:

·          1 orang diberi 7 kartu yang menggandung bagian kosong.

·          21 buah kartu domino yang lain dikocok kemudian dibagikan kepada 3 orang siswa sama banyak.

Satu orang memilih secara acak sebuah kartu kemudian meletakkannya di atas meja.  

Siswa disebelah kanannya memilih sebuah kartu untuk disambungkan dengan kartu yang sudah dipilih tersebut, dia mengetahui kartu yang cocok untuk disambungkan. Jika tidak ada, dia harus mengatakan “lewat”. Orang ketiga memilih kartu yang sesuai dengan yang disyaratkan. Lalu disambungkan, diusahakan bagian yang sama ditumpukkan.Contoh gambar :

·      Seperti bermain domino, syarat perkalian dua matriks diperlihatkan pada dua kartu di atas. Titik pada kartu pertama menunjukkan ordo dari matriks pertama sedang titik pada kartu kedua menunjukkan ordo matriks kedua. Perkalian matriks dapat dilakukan jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks kedua. Titik di ujung-ujung kartu adalah ordo matriks hasil kali. Pada contoh di atas siswa menujukkan ordo matrik hasil kali adalah 2 x 1.

·        Untuk menjelaskan perkalian matriks tidak komutatif  siswa diminta supaya kartu yang kedua pada contoh tadi diletakkan  lebih dulu dengan posisi titik satu-empat.

Siswa dikanannya menyambungkan dengan kartu yang pertama, seperti pada gambar di atas. Siswa menunjukkanordo matriks hasil  1x2. Kemudian siswa diminta membandingkan ordo matriks hasil kali pada dua perkalian matriks yang dilakukan dengan kedudukan matriks ditukar. Diharapkan jawaban siswa adalah:  A x B  B x A.

Kegiatan diulang untuk kartu yang berbeda. Kegiatan diulang untuk orang yang berbeda,sampai semua siswa mengerti mengenai syarat perkalian dua matriks, dan menentukan ordo  matriks hasil kali.

·      Karena ordo matriks berlaku untuk semua bilangan real, sehingga memungkinkan ordo matriks 7x10 atau 15x30 dan lain-lain, untuk menurunkan syarat secara umum perkalian dua matriks dan ordo matriks hasil, tempat kosong pada 7 buah kartu yang dipegang oleh satu siswa diberi n, dengan n menyatakan jumlah titik sembarang. Lakukan kegiatan seperti diatas dengan melibatkan semua kartu oleh 4 orang. Diharapkan siswa akan lebih memahami apa yang dimaksud dengan perkalian matriks A dan B yang ditulis:

 X =

Diberikan soal latihan pemahaman perkalian matriks sebagai berikut:

 A =   B =  ,    C =

D = , dan  E =

Siswa diminta untuk menuliskan pasangan matriks yang memenuhi syarat perkalian kemudian menentukan matriks hasil perkaliannya.

N.    Penilaian

        Teknik                        : Tes tertulis

        Bentuk instrumen      : Tes Uraian

Soal Penilaian

1.        Diberikan matriks A = ,  B =  dan C =

Hitung:

1.        5B + C

2.        (AB)C

3.        A ( B + C )

Kunci Jawaban:

 a. 5B + C  =   + 

  b. (AB)C=  =

 c. A(B + C) =  =