BAHAN AJAR
SKENARIO PEMBELAJARAN PERKALIAN MATRIKS
A.
Menjelaskan
Definisi Matriks
·
Ukuran Matriks
·
Unsur Baris
·
Unsur Kolom
·
Unsur Baris dan Unsur
Kolom
B.
Operasi
Matriks
·
Syarat Menjumlah Dua
Matriks
·
Perkalian Matriks
dengan Bilangan Skalar
·
Perkalian Dua Matriks
·
Syarat Perkalian Dua
Matriks
C.
Pelaksanaan
Pembelajaran.
D.
Menjelaskan
Definisi Matriks.
Diberikan kepada siswa tabel nilai
rata-rata ulangan 5 orang siswa pelajaran matematika, fisika, kimia, biologi
sebagai berikut:
|
Nama
|
Matematika
|
Fisika
|
Kimia
|
Biologi
|
|
Ali
|
7.5
|
7.0
|
8.5
|
7.0
|
|
Ani
|
8.3
|
7.5
|
8.5
|
5.0
|
|
Budi
|
7.7
|
8.0
|
7.5
|
8.0
|
|
Dini
|
8.0
|
7.5
|
8.0
|
7.0
|
|
Dena
|
7.5
|
8.0
|
7.5
|
7.5
|
Siswa diminta untuk menghapus baris
pertama dan kolom pertama dari tabel tersebut, untuk mendapatkan
|
7.5
|
7.0
|
8.5
|
7.0
|
|
8.3
|
7.5
|
8.5
|
5.0
|
|
7.7
|
8.0
|
7.5
|
8.0
|
|
8.0
|
7.5
|
8.0
|
7.0
|
|
7.5
|
8.0
|
7.5
|
7.5
|
Kemudian ditanyakan kepada siswa
tentang susunan bilangan-bilangan pada sisa tabel yang tidak terhapus. (Jawaban
yang diharapkan kumpulan bilangan yang ditulis menurut baris dan kolom).
Kemungkinan jawaban siswa adalah:
1.
Bilangan-bilangan yang
ditulis menurut baris dan kolom.
2.
Kumpulan
bilangan-bilangan.
Siswa yang menjawab kemungkinan
pertama dianggap pemahamannya sudah mengarah kepada yang mau dipelajari tentang matriks. Untuk siswa yang menjawab
kemungkinan kedua diberikan bilangan
yang tidak teratur sebagai berikut
|
7,0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,7
|
|
7,0
|
|
|
|
|
|
|
|
8,3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8,0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8,0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8,0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8,0
|
|
|
|
|
|
|
|
7,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8,0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8,0
|
|
|
|
|
|
|
7,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,7
|
Kepada siswa yang menjawab kelompok
kedua ditanyakan lagi apa beda kumpulan bilangan yang pertama dengan yang kedua.
Diharapkan siswa dapat membedakan kumpulan bilanngan pertama dan kedua yaitu: Kumpulan
bilangan yang pertama teratur menurut baris dan kolom sedangkan kumpulan
bilangan kedua tidak teratur letaknya. Kemudian dikemukakan bahwa kumpulan
bilangan
yang ditulis menurut baris dan
kolom disebut matriks dan cara menuliskannya dengan kurung
dan diberi nama dengan huruf kapital.
Contoh di atas ditulis A =
sedangkan kumpulan bilangan kedua
bukan matriks.
E.
Menentukan
Ukuran Matriks.
Pada tabel yang pertama ditambah 5
orang siswa dan nilainya dikurangi satu, yaitu nilai biologi tidak dituliskan
pada tabel itu, dengan demikian tabel menjadi:
|
Nama
|
Matematika
|
Fisika
|
Kimia
|
|
Ali
|
7.5
|
7.0
|
7.0
|
|
Ani
|
8.3
|
7.5
|
8.5
|
|
Budi
|
7,7
|
8.0
|
7.5
|
|
Dini
|
8.0
|
7.5
|
8.0
|
|
Dena
|
7.5
|
8.0
|
7.5
|
|
Hana
|
9.0
|
8.0
|
7.0
|
|
Hani
|
7.0
|
7.0
|
7.5
|
|
Intan
|
8.6
|
7.5
|
7.0
|
|
Ihja
|
7.7
|
7.0
|
7.0
|
|
Winda
|
7.8
|
7.5
|
7.0
|
Apabila siswa sudah memiliki
pengetahuan tentang matriks, maka tabel di atas dapat
diperlihatkan dalam bentuk matriks
dan diberi nama B =
Siswa diminta mengamati dan membandingkan
matriks A dan matriks B
Kemungkinan jawaban siswa:
1.
Matriks A memiliki 5
baris dan 4 kolom, sedangkan matriks B memiliki
10 baris dan 3 kolom.
2. Matriks
B lebih tinggi dari matriks A.
Siswa yang menjawab kelompok pertama
sudah mengarah keukuran matriks. Untuk siswa yang menjawab kelompok kedua,
diminta untuk menghitung banyak baris dan banyak kolom dari masing-masing
matriks. Kemudian dikemukakan bahwa banyak baris kali banyak kolom disebut
ukuran matriks, atau ordo matriks. Jadi ukuran matriks A 5x4 ditulis
sedangkan ukuran matriks B 10x3 ditulis
.
F.
Menentukan
Letak Unsur-Unsur
Kepada siswa diberikan matriks A =
.
Siswa diminta menentukan unsur matriks A
baris pertama. (Jawaban yang diharapkan adalah:
7, -5 -3). Siswa diminta menentukan unsur
matriks A kolom kedua. (Jawaban yang diharapkan adalah: -5, -1, 3, 6, -7).
Siswa diminta menentukan unsur matriks A baris ketiga kolom pertama. (Jawaban
yang diharapkan adalah: 4).
Kemudian kepada siswa ditanyakan letak
bilangan 3 pada matriks A. (Jawaban yang diharapkan adalah: Bilangan 3 unsur
matriks A baris ketiga kolom kedua). Seandainya masih ada yang menjawab
salah, pertanyaan diulang untuk letak
beberapa unsur yang lainnya.
G.
Penjumlahan
Dua Matriks
Diberikan tabel belanja sebuah perusahaan
home
industri yang memproduksi kue kering selama 5
hari sebagai berikut:
Tabel Belanja Minggu pertama
|
Hari
|
Terigu
|
Gula
|
Mentega
|
Telur
|
|
Senin
|
25
|
13
|
14
|
11
|
|
Selasa
|
20
|
14
|
12
|
13
|
|
Rabu
|
18
|
11
|
12
|
10
|
|
Kamis
|
18
|
10
|
10
|
9
|
|
Jumat
|
25
|
13
|
14
|
12
|
Tabel Belanja Minggu kedua
|
Hari
|
Terigu
|
Gula
|
Mentega
|
Telur
|
|
Senin
|
20
|
12
|
11
|
10
|
|
Selasa
|
20
|
10
|
10
|
9
|
|
Rabu
|
25
|
14
|
14
|
11
|
|
Kamis
|
20
|
13
|
12
|
12
|
|
Jumat
|
22
|
13
|
11
|
10
|
Siswa diminta untuk menentukan banyak
belanja selama dua minggu dan menuliskannya dalam satu tabel.
Siswa diharapkan dapat membuat tabel
sebagai berikut:
|
Hari
|
Terigu
|
Gula
|
Mentega
|
Telur
|
|
Senin
|
45
|
25
|
25
|
21
|
|
Selasa
|
40
|
34
|
22
|
22
|
|
Rabu
|
43
|
25
|
26
|
21
|
|
Kamis
|
38
|
23
|
22
|
21
|
|
Jumat
|
47
|
26
|
25
|
22
|
Kemudian siswa diminta membuat matriks
dari ketiga tabel di atas. Diharapkan siswa menuliskan matriks sebagai berikut:
matriks dari tabel pertama diberi nama A
=
,
matriks dari tabel kedua diberi nama B =
dan
matriks dari tabel ketiga diberi nama
C =
,
Selanjutnya siswa diminta untuk mengamati
dan menentukan hubungan ketiga matriks tersebut.
Kemungkinan jawaban siswa:
1.
Unsur matriks C merupakan jumlah dari dua
unsur seletak matriks A dan B.
2.
Siswa yang belum
mengerti, tidak memberikan komentar.
Untuk siswa yang belum mengerti,
ditunjukkan hubungan setiap unsur dari matriks C dengan unsur seletak matriks A
dan B. Contoh unsur matriks C baris pertama kolom pertama yaitu 45, seletak
dengan 25 dan 20 pada matriks A dan B.
Siswa diminta menentukan hubungan ketiga bilangan tersebut. (Jawaban yang
diharapkan: 45 = 25 + 20). Pertanyaan diulangi untuk beberapa unsur, sampai
siswa mengerti bahwa proses menjumlahkan dua matriks adalah menjumlah
unsur-unsur seletak dua matriks sebelumnya.
Siswa diminta untuk menuliskan hubungan
matriks-matriks tersebut dalam bentuk operasi. (Jawaban yang diharapkan:
Matriks C adalah jumlah dari matriks A dan B ditulis A + B = C).
H.
Syarat
Penjumlahan Dua Matriks
Kepada
siswa diberikan tiga buah matriks sebagai berikut:
A
=
,
B =
,
dan C =
Siswa diminta menghitung:
A + B dan A + C
Diharapkan siswa menghitung dengan benar
yaitu:
A + B =
+
=
Kemudian kepada siswa ditanyakan,
mengenai kemungkinan menjumlahkan matriks A dengan matriks C. Kemungkinan jawaban siswa adalah:
1.
Tidak mungkin karena
matriks A dan matriks C berbeda ukuran.
2.
Siswa yang belum
mengerti tidak memberikan komentar.
Kepada siswa yang belum mengerti diminta
untuk memperhatikan matriks A dan matriks C dengan seksama. Kemudian kepada
siswa tersebut ditanyakan “Apakah setiap unsur pada kedua matriks tersebut
memiliki pasangan untuk dijumlahkan?”. Diharapkan kebanyakan siswa menjawab “
Tidak”. Selanjutnya ditanyakan kemungkinan untuk menjumlahkan matriks A dengan
C. Jawaban yang diharapkan adalah: tidak
mungkin.
I.
Syarat
Menjumlah Dua Matriks
Untuk menentukan syarat agar dua matriks
dapat dijumlahkan, siswa diminta membandingkan ukuran dari matriks-matriks yang
dapat dijumlahkan, dengan matriks-matriks yang tidak dapat dijumlahkan.
Diharapkan kebanyakan siswa menjawab benar, yaitu syarat agar dua matriks dapat
dijumlahkan adalah ukuran dari matriks-matriks itu harus sama.
J.
Perkalian
Matriks Dengan Bilangan Real
Siswa diminta untuk memperhatikan tabel
belanja sebuah perusahaan dalam satu minggu.
|
Hari
|
Terigu
|
Gula
|
Mentega
|
Telur
|
|
Senin
|
25
|
13
|
14
|
11
|
|
Selasa
|
20
|
14
|
12
|
13
|
|
Rabu
|
18
|
11
|
12
|
10
|
|
Kamis
|
18
|
10
|
10
|
9
|
|
Jumat
|
25
|
13
|
14
|
12
|
Setiap kali menjelang hari raya, belanja
perusahaan meningkat sepuluh kali dari belanja sebelumnya. Siswa diminta
menuliskan tabel belanja menjelang hari raya. Diharapkan siswa menuliskan tabel
berikut.
Tabel belanja menjelang hari raya
|
Hari
|
Terigu
|
Gula
|
Mentega
|
Telur
|
|
Senin
|
250
|
130
|
140
|
110
|
|
Selasa
|
200
|
140
|
120
|
130
|
|
Rabu
|
180
|
110
|
1200
|
100
|
|
Kamis
|
180
|
100
|
10
|
90
|
|
Jumat
|
250
|
130
|
140
|
120
|
Selanjutnya siswa diminta membuat matriks
dari kedua tabel di atas:
matriks dari tabel pertama misal namanya
A =
dan
Matriks dari tabel belanja menjelang hari
raya misal namanya B =
Dengan memperhatikan setiap unsur seletak pada matriks A dan matriks B siswa
diminta menentukan hubungan antara matriks A dan matriks B.
Kemungkinan jawaban siswa:
1.
Matriks B didapat dari
matriks A dengan cara setiap unsur matriks A dikalikan bilangan sepuluh.
2.
Belum memahami hubungan
kedua matriks itu.
Untuk siswa yang menjawab kelompok
pertama berarti sudah mengerti proses perkalian matriks dengan bilangan real.
Sedangkan siswa yang menjawab kelompok kedua, ditujukkan unsur pada matriks B
yang seletak dengan matriks A masing-masing
adalah sepuluh kalinya.Siswa menuliskan dalam bentuk matriks 10
=
Untuk lebih memahami perkalian matriks
dengan bilangan real diberikan soal sebagai berikut:
1.
Diketahui matriks A =
hitung 5A
2.
Diketahui matriks B =
,
hitung 8B
Diharapkan siswa dapat mengerjakan soal
tersebut dengan benar, untuk siswa yang belum benar, diminta untuk melihat
contoh perkalian matriks yang sudah dilakukan di atas.
K.
Perkalian
Matriks Dengan Matriks.
Siswa diminta untuk memperhatikan tabel
belanja sebuah perusahaan kue selama 4 hari berturut-turut.
Tabel
|
Hari
|
Terigu
|
Gula
|
Mentega
|
Telur
|
|
Senin
|
25
|
13
|
14
|
11
|
|
Selasa
|
20
|
14
|
12
|
13
|
|
Rabu
|
18
|
11
|
12
|
10
|
|
Kamis
|
18
|
10
|
10
|
9
|
Jika harga masing-masing per-kilogram
adalah sebagai berikut: terigu Rp 9.000,00, gula Rp 16.000,00, mentega Rp
18.000,00, dan telur Rp 16.000,00.
Siswa diminta berdiskusi dengan temannya
untuk menghitung pengeluaran setiap kali belanja dan menyajikannya dalam
matriks.
Langkah 1 menghitung pengeluaran setiap
kali belanja
·
Hari Senin = 25( 9.000
) + 13( 16000 + 14 ( 18000 ) + 11( 16000 ) = 1.086.000.
·
Hari Selasa = 20( 9000
) + 14 (6000 ) + 12 (18000 ) + 13 (16000 ) = 828.000.
·
Hari Rabu = 18 ( 9000 ) + 11 (16000) + 12 (18000) + 10 (16000
) = 714.000.
·
Hari Kamis = 18 ( 9000)
+ 10 (16000) + 10 (18000) + 9 ( 16000 )
= 646000.
Langkah
2 menyajikan pengeluaran tiap kali belanja disesuaikan dengan tabel
|
Hari
|
Terigu
|
Gula
|
Mentega
|
Telur
|
|
Senin
|
25
|
13
|
14
|
11
|
|
Selasa
|
20
|
14
|
12
|
13
|
|
Rabu
|
18
|
11
|
12
|
10
|
|
Kamis
|
18
|
10
|
10
|
9
|
|
Harga
|
|
9000
|
|
16000
|
|
18000
|
|
16000
|
|
Pengeluaran
|
|
1.086000
|
|
828.000
|
|
714.000
|
|
646.000
|
Diharapkan siswa dapat menyelesaikan
langkah 1 dengan benar.
Tabel pada langkah dua disajikan dalam
matriks sebagai berikut:
=
L.
Proses
Perkalian Matriks
Misal matriks A =
,
matriks B =
,
dan matriks C =
. Siswa diminta memperhatikan hubungan
unsur-unsur matriks A dan B dengan unsur-unsur matriks C. Kemudian siswa
menjelaskan hubungan ketiga matriks melalui perhitungan langkah 1, yaitu:
Pengeluaran hari Senin,
yakni unsur baris pertama kolom pertama
matriks C adalah jumlah dari perkalian unsur baris pertama matriks A dengan
kolom pertama matriks B yang bersesuaian.
Pengeluaran hari Selasa
yakni unsur baris kedua kolom pertama matriks C adalah jumlah dari perkalian
unsur baris kedua matriks A dengan kolom
pertama matriks B yang bersesuaian.
Pengeluaran hari Rabu
yakni unsur baris ketiga kolom pertama matriks C, adalah jumlah
dari perkalian baris ketiga matriks A dengan kolom pertama matriks B
yang bersesuaian.
Pengeluaran hari Kamis
yakni unsur baris keempat kolom pertama matriks C adalah jumlah hasil perkalian
unsur baris keempat matriks A dengan kolom pertama matriks B yang bersesuaian.
Melihat keteraturan proses perkalian
matriks diharapkan siswa dapat menentukan unsur-unsur yang dikalikan jika unsur
matriks hasil kali diberikan. Misalnya diberikan matriks hasil baris ke-n kolom
ke-p diharapkan siswa dapat menentukan unsur tersebut jumlah hasil perkalian
baris ke-n matriks A dengan kolom ke-p matriks B. Jika diberikan unsur baris ke-r matriks A
dikalikan dengan unsur kolom ke-k matriks B siswa diharapkan dapat menjawab
bahwa menghasilkan unsur matriks hasil (Matriks C) baris ke-r kolom ke-k.
Dari keteraturan tersebut siswa diminta
mengemukakan proses perkalian matriks A dengan matriks B. (Jawaban yang
diharapkan adalah: matriks A dikalikan dengan matriks B menghasilkan matriks C.
Unsur-unsur matriks C adalah jumlah
hasil kali unsur-unsur baris matriks A dengan unsur-unsur kolom matriks B yang
bersesuaian).
Kemungkinan jawaban siswa:
1.
Matriks A dikalikan
dengan matriks B menghasilkan matriks C, unsur-unsur matriks C adalah hasilkali
unsur baris matriks A dengan unsur kolom matriks B.
2.
Siswa belum memahami
proses perkalian matriks.
Untuk siswa yang belum memahami proses
perkalian matriks, diulangi untuk contoh yang sama mulai dari menghitung
pengeluaran setiap hari sampai menyajikan dalam bentuk matriks. Kemudian
mengkaji hubungan satu persatu antara matriks hasil dengan dua matriks yang
dikalikan.
Untuk lebih memahamkan siswa mengenai
proses perkalian matriks, diberikan tabel hasil permainan sepak bola,
KLASEMEN LIGA SUPER INDONESIA
|
Nama Club
|
Menang
|
Seri
|
Kalah
|
|
Persipura
|
14
|
5
|
2
|
|
Semen
Padang
|
11
|
8
|
3
|
|
Persija
|
12
|
4
|
6
|
|
Arema
|
10
|
7
|
6
|
|
Persisam
|
11
|
3
|
10
|
|
Sriwijaya
FC
|
10
|
4
|
8
|
|
Persela
|
9
|
5
|
8
|
|
Persib
|
9
|
5
|
10
|
|
Persiwa
|
9
|
4
|
8
|
|
Persiba
|
7
|
5
|
9
|
Siswa diminta menghitung total
nilai yang diperoleh masing-masing tim apabila skor menang, seri dan kalah
berturut-turut 3, 1, dan 0. Kebanyakan
siswa pecinta sepak bola diharapkan pertanyaan dijawab dengan benar. Jawaban
yang dihasilkan diminta disajikan dalam bentuk matriks. Diharapkan jawaban
siswa:
=
=
Melalui contoh tersebut diharapkan
siswa lebih mudah memahami proses
perkalian matriks.
M. Syarat Perkalian Dua
Matriks
Untuk memahami syarat agar dua matriks
dapat dikalikan, serta mengetahui ordo matriks hasil kali, diperagakan melalui
permainan kartu domino.
Kegiatan Menentukan Syarat
Perkalian Dua Matriks Menggunakan Kartu Domino:
·
1 orang diberi 7 kartu
yang menggandung bagian kosong.
·
21 buah kartu domino
yang lain dikocok kemudian dibagikan kepada 3 orang siswa sama banyak.
Satu orang memilih secara acak
sebuah kartu kemudian meletakkannya di atas meja.
Siswa disebelah kanannya memilih
sebuah kartu untuk disambungkan dengan kartu yang sudah dipilih tersebut, dia
mengetahui kartu yang cocok untuk disambungkan. Jika tidak ada, dia harus
mengatakan “lewat”. Orang ketiga memilih kartu yang sesuai dengan yang
disyaratkan. Lalu disambungkan, diusahakan bagian yang sama ditumpukkan.Contoh
gambar :
· Seperti
bermain domino, syarat perkalian dua matriks diperlihatkan pada dua kartu di
atas. Titik pada kartu pertama menunjukkan ordo dari matriks pertama sedang
titik pada kartu kedua menunjukkan ordo matriks kedua. Perkalian matriks dapat
dilakukan jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks
kedua. Titik di ujung-ujung kartu adalah ordo matriks hasil kali. Pada contoh
di atas siswa menujukkan ordo matrik hasil kali adalah 2 x 1.
·
Untuk menjelaskan
perkalian matriks tidak komutatif siswa
diminta supaya kartu yang kedua pada contoh tadi diletakkan lebih dulu dengan posisi titik satu-empat.
Siswa dikanannya menyambungkan
dengan kartu yang pertama, seperti pada gambar di atas. Siswa menunjukkanordo
matriks hasil 1x2. Kemudian siswa
diminta membandingkan ordo matriks hasil kali pada dua perkalian matriks yang
dilakukan dengan kedudukan matriks ditukar. Diharapkan jawaban siswa
adalah: A x B
B
x A.
Kegiatan
diulang untuk kartu yang berbeda. Kegiatan diulang untuk orang yang berbeda,sampai
semua siswa mengerti mengenai syarat perkalian dua matriks, dan menentukan
ordo matriks hasil kali.
· Karena
ordo matriks berlaku untuk semua bilangan real, sehingga memungkinkan ordo
matriks 7x10 atau 15x30 dan lain-lain, untuk menurunkan syarat secara umum
perkalian dua matriks dan ordo matriks hasil, tempat kosong pada 7 buah kartu
yang dipegang oleh satu siswa diberi n,
dengan n menyatakan jumlah titik
sembarang. Lakukan kegiatan seperti diatas dengan melibatkan semua kartu oleh 4
orang. Diharapkan siswa akan lebih memahami apa yang dimaksud dengan perkalian
matriks A dan B yang ditulis:
X
=
Diberikan
soal latihan pemahaman perkalian matriks sebagai berikut:
A =
B
=
,
C =
D =
, dan
E =
Siswa diminta untuk
menuliskan pasangan matriks yang memenuhi syarat perkalian kemudian menentukan
matriks hasil perkaliannya.
N.
Penilaian
Teknik
: Tes tertulis
Bentuk
instrumen : Tes Uraian
Soal Penilaian
1.
Diberikan matriks A =
,
B =
dan C =
Hitung:
1.
5B + C
2.
(AB)C
3.
A ( B + C )
Kunci Jawaban:
a.
5B + C =
+
b. (AB)C=
=
c.
A(B + C) =
=
